もし技術が進歩して、故人の有名声優の「声」や「口調」を完全再現できた時、それで喋らせる内容がオリジナルなら権利問題は発生する？

のですかね？？
勝手に故人のありし日の音声を使うことはできない、その権利はたとえば遺族が持っている、で分かるのですよ。
しかし、要は初音ミクみたいなソフトがAI的な何かでぐんぐん進歩し、「ばっかもーん！そいつが〇〇だー」とか「〇〇のとっつあーん、あーばよ」というのを、キーボードに打ち込めば自由自在に作れてしまうとき、そのオリジナルな合成音声は、「参考にさせていただいた方」になにがしかの権利を払う必要（義務）はあるのですかね。
初音ミクにもそもそも声優が参加していて、声の基盤になったとは聞いてますし、その人にはなにがしかのギャラは払ったのだろうけど、そりゃ労働への報酬だろうしね

初音ミク Project DIVA Future Tone DX - PS4

千本桜 (feat. 初音ミク)

HATSUNE MIKU 10th ANNIVERSARY SONGS -ミラクルミライ-

声のモデルを提供　→その結果完成したソフトが生み出す音声に何かの権利を持っている　→ロイヤリティもらって今やウハウハ…、じゃないのではないでしょうか？

ちなみに、上の考察に一切のエビデンスはなく、ただの机上の空論
そもそも、そんな技術が完成するかもわからんし。